Exercicis de fraccions i decimals: operacions — Matemàtiques 2n ESO

Dividim numerador i denominador pel seu màxim comú divisor, que és 14: 28/42 = 2/3.
La fracció 2/3 ja és irreductible, perquè 2 i 3 no tenen cap divisor comú més que l'1.

Per passar de 5 a 20 hem multiplicat per 4 (20 : 5 = 4).
Multipliquem també el numerador per 4: 3 · 4 = 12.
La fracció és $\tfrac{12}{20}$.
Comprovació: 3 · 20 = 60 i 5 · 12 = 60 (productes en creu iguals).

El mínim comú múltiple de 4 i 3 és 12.
3/4 = 9/12 i 2/3 = 8/12.
Com que 9/12 > 8/12, la fracció més gran és 3/4.

Els denominadors són iguals, així que se sumen els numeradors i es manté el denominador: (2 + 3)/7 = 5/7.
La fracció ja és irreductible.

Dividim 64 entre el denominador: 64 : 8 = 8.
Multipliquem pel numerador: 8 · 3 = 24.
Els $\tfrac{3}{8}$ de 64 són 24.

Multipliquem numeradors i denominadors: (2 · 9)/(3 · 10) = 18/30.
Simplifiquem dividint per 6: 18/30 = 3/5.
(També es pot simplificar abans de multiplicar: el 9 i el 3 es poden dividir per 3, i el 2 i el 10 per 2.)

0,375 té tres decimals, així que és 375/1000.
Dividim per 125 numerador i denominador: 375/1000 = 3/8.
Comprovació: 3 : 8 = 0,375.

Dividim el numerador entre el denominador: 7 : 20 = 0,35.
Una altra manera: multipliquem dalt i baix per 5 per tenir denominador 100: 7/20 = 35/100 = 0,35.

Dividir per una fracció és multiplicar per la seva inversa: 3/4 · 8/3 = 24/12.
Simplifiquem: 24/12 = 2.
Comprovació: 2 · 3/8 = 6/8 = 3/4.

0,25 i 1,5: decimals exactes (tenen un nombre finit de xifres).
0,333…: periòdic pur, perquè el període (3) comença just després de la coma.
2,1666…: periòdic mixt, perquè hi ha una xifra no periòdica (1) abans del període (6).

El mínim comú múltiple de 6 i 4 és 12.
1/6 = 2/12 i 3/4 = 9/12.
Suma: 2/12 + 9/12 = 11/12, que ja és irreductible.

El mínim comú múltiple de 6 i 10 és 30.
5/6 = 25/30 i 3/10 = 9/30.
Resta: 25/30 - 9/30 = 16/30 = 8/15 (dividint per 2).

El mínim comú múltiple de 3, 8, 12 i 4 és 24.
2/3 = 16/24; 5/8 = 15/24; 7/12 = 14/24; 3/4 = 18/24.
Ordenant els numeradors: 14 < 15 < 16 < 18.
Per tant: 7/12 < 5/8 < 2/3 < 3/4.

Sigui x = 0,7777… Com que el període té una xifra, multipliquem per 10: 10x = 7,7777…
Restem: 10x - x = 7,7777… - 0,7777…, és a dir, 9x = 7 i x = 7/9.
Comprovació: 7 : 9 = 0,7777…

El període és 12 (dues xifres), així que multipliquem per 100: x = 0,1212…; 100x = 12,1212…
Restem: 99x = 12, per tant x = 12/99.
Simplifiquem dividint per 3: x = 4/33.
Comprovació: 4 : 33 = 0,1212…

Pomes: 60 : 3 = 20. Taronges: 60 : 4 = 15.
Plàtans: 60 - 20 - 15 = 25.
Fracció: 25/60 = 5/12.
Comprovació amb fraccions: 1 - 1/3 - 1/4 = 12/12 - 4/12 - 3/12 = 5/12.

Multipliquem la primera fracció per la inversa de la segona: 5/6 · 9/10 = 45/60.
Simplifiquem dividint per 15: 45/60 = 3/4.

Primer es fa la multiplicació: 1/2 · 2/3 = 2/6 = 1/3.
Després la suma: 3/4 + 1/3 = 9/12 + 4/12 = 13/12.
El resultat és 13/12 (o 1 i 1/12).
Error típic: sumar primer 3/4 + 1/2 i multiplicar després.

Després dels llibres li queda 1 - 1/3 = 2/3 de la paga.
Cinema: la meitat de 2/3 és 1/2 · 2/3 = 1/3 de la paga.
En total ha gastat 1/3 + 1/3 = 2/3 de la paga.
Observa que 1/2 és una fracció del que queda, no de la paga sencera.

Passem 3/4 a decimal: 3 : 4 = 0,75.
1,25 + 0,75 - 0,5 = 2 - 0,5 = 1,5.
Com a fracció: 1,5 = 15/10 = 3/2.

No té raó: ha sumat numeradors amb numeradors i denominadors amb denominadors, i això només s'ha de fer amb el numerador si els denominadors són iguals.
Cal reduir a denominador comú (6): 1/2 = 3/6 i 1/3 = 2/6.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Comprovació: 2/5 = 0,4 és més petit que 1/2, i una suma no pot donar menys que un dels sumands.

Primer, el primer parèntesi: 2/3 - 1/4 = 8/12 - 3/12 = 5/12.
Segon parèntesi: 5/6 + 1/12 = 10/12 + 1/12 = 11/12.
Divisió: 5/12 : 11/12 = 5/12 · 12/11 = 60/132 = 5/11.

Primer parèntesi: 3/5 - 1/2 = 6/10 - 5/10 = 1/10.
Segon parèntesi: 2 + 1/3 = 6/3 + 1/3 = 7/3.
Producte: 1/10 · 7/3 = 7/30.
Resta: 7/30 - 1/6 = 7/30 - 5/30 = 2/30 = 1/15.

Sigui x = 2,1666…
Multipliquem per 100 perquè el període quedi a la dreta de la coma, i per 10 perquè hi quedi només la part no periòdica: 100x = 216,666… i 10x = 21,666…
Restem: 90x = 195, per tant x = 195/90 = 13/6 (dividint per 15).
Comprovació: 13 : 6 = 2,1666…

x = 1,2727…; com que el període té dues xifres, 100x = 127,2727…
Restem: 99x = 126, per tant x = 126/99 = 14/11 (dividint per 9).
Comprovació: 14 : 11 = 1,2727…
Una altra manera: 1 + 27/99 = 1 + 3/11 = 14/11.

Fracció ja plena: 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15.
Fracció que falta: 1 - 11/15 = 4/15 de la capacitat.
Aquests 4/15 són 48 litres, així que 1/15 són 48 : 4 = 12 litres.
La capacitat és 15 · 12 = 180 litres.
Comprovació: 2/5 de 180 = 72; 1/3 de 180 = 60; 72 + 60 + 48 = 180.

a) Fan esport: 3/5 de 30 = 30 : 5 · 3 = 18. De 18, 1/3 són 18 : 3 = 6 alumnes que fan natació.
b) 6/30 = 1/5 de la classe. També: 1/3 · 3/5 = 3/15 = 1/5.
c) No fan esport: 30 - 18 = 12 alumnes (és a dir, 2/5 de la classe).

Passem tot a decimal amb tres decimals: $\tfrac{5}{8} = 0{,}625$; 0,65 = 0,650; 0,666… = 0,667 aprox.
Comparem: 0,625 < 0,650 < 0,666…
L'ordre és $\tfrac{5}{8}$ < 0,65 < 0,666…
Nota: 0,666… és la fracció $\tfrac{2}{3}$, i amb denominador 120 es veria també: $\tfrac{75}{120}$ < $\tfrac{78}{120}$ < $\tfrac{80}{120}$.

Llet per ració: (3/4) : 6 = 3/24 = 1/8 de litre.
Per a 10 racions: 10 · 1/8 = 10/8 = 5/4 de litre.
En decimal: 5/4 = 1,25 litres.
Comprovació: 10 racions és 10/6 = 5/3 de la recepta i 3/4 · 5/3 = 15/12 = 5/4.

a) x = 7/6 - 2/3 = 7/6 - 4/6 = 3/6 = 1/2.
b) x · 3/4 = 9/10, per tant x = 9/10 : 3/4 = 9/10 · 4/3 = 36/30 = 6/5.
Comprovació de a): 1/2 + 2/3 = 3/6 + 4/6 = 7/6. Comprovació de b): 6/5 · 3/4 = 18/20 = 9/10.