Exercicis de mecanismes — Tecnologia i Digitalització 3r ESO

La roda gira més de pressa que els pedals. El plat (entrada) té més dents que el pinyó (sortida), així que la relació i = $\tfrac{z_{\mathrm{plat}}}{z_{\mathrm{pinyo}}}$ és més gran que 1 i multiplica la velocitat. Costa més pedalar, però avances més amb cada pedalada.

A l'entrada hi ha un moviment de gir (la lleva que gira sobre el seu eix). A la sortida hi ha un moviment alternatiu (el seguidor que puja i baixa segons la forma de la lleva).

M = F · d = 80 · 0,5 = 40 N·m.
El moment és de 40 newton metre.

Mirem quin dels tres punts (força, resistència, punt de suport) queda al mig.
(a) Tisores: el punt de suport (el cargol) és entre la força i la resistència, per tant són de 1r gènere.
(b) Carretó: la resistència (la càrrega) és entre el punt de suport (la roda) i la força (els mànecs), per tant és de 2n gènere.
(c) Pinces de gel: la força s'aplica entre el punt de suport (l'articulació) i la resistència (la punta), per tant són de 3r gènere.

En un sistema de politges amb corretja es compleix n₁ · D₁ = n₂ · D₂.
n₂ = (1200 · 5)/20 = 300 rpm.
La conduïda és més gran, per tant gira més a poc a poc: és un reductor (i = 5/20 = 0,25).
Comprovació: 1200 · 5 = 6000 i 300 · 20 = 6000.

A l'entrada hi ha un moviment circular continu (el gir de la manovella) i a la sortida un moviment rectilini alternatiu (l'anada i tornada del pistó o del peu de la biela).
És un mecanisme de transformació i, a més, reversible: també pot passar d'alternatiu a circular.
Exemple: el motor d'un cotxe (el pistó fa girar el cigonyal) o una màquina de cosir.

El pes del cubell és P = m · g = 20 · 9,8 = 196 N.
Amb una politja fixa la força necessària és igual a la resistència: F = P = 196 N.
L'avantatge no és estalviar força, sinó canviar-ne la direcció i el sentit: podem estirar la corda cap avall i fer servir el nostre propi pes.

Cada volta completa del cargol sens fi fa avançar la roda una sola dent.
Per fer una volta sencera, la roda necessita 40 voltes del cargol.
n_roda = 1200/40 = 30 rpm.
És un reductor molt potent: la velocitat es divideix per 40 en un sol pas.

Fals.
En el punt de contacte les dents d'una roda empenyen les de l'altra en la mateixa direcció, de manera que una gira en sentit horari i l'altra en sentit antihorari.
Per aconseguir que les dues rodes girin en el mateix sentit cal intercalar-hi una roda intermèdia (roda boja).

El moment d'una força és M = F · d.
Aïllem la força: F = M/d = 30/0,4 = 75 N.
Si féssim servir una clau més llarga, la força necessària seria més petita.
Comprovació: 75 · 0,4 = 30 N·m.

i = z₁/z₂ = 15/45 = 0,33.
Com que i < 1, la sortida gira més a poc a poc: és un mecanisme reductor (redueix la velocitat, però augmenta la força).

Amb corretja (sense creuar), les dues politges giren en el mateix sentit.
La relació és i = d₁/d₂ = 10/30 = 0,33. La conduïda gira més a poc a poc: és un sistema reductor.

Perquè canvia el tipus de moviment: l'entrada és un gir (el cargol que gira) i la sortida és un desplaçament lineal (el cargol que avança en línia recta). Un mecanisme de transmissió mantindria el tipus de moviment (gir a gir); aquí el moviment canvia de gir a lineal, per això és de transformació.

(a) Les vàlvules del motor les mou una lleva-seguidor: la lleva gira i el seguidor puja i baixa obrint i tancant la vàlvula. (b) El cric funciona amb un cargol-femella: en girar el cargol, aquest avança i aixeca el cotxe amb molta força.

Primera parella: n₂ = 900 · 20/40 = 450 rpm.
Les rodes 2 i 3 van al mateix eix, per tant n₃ = n₂ = 450 rpm.
Segona parella: n₄ = 450 · 15/45 = 150 rpm.
Comprovació: i_total = (20/40) · (15/45) = 1/6 i 900 · 1/6 = 150 rpm.

Pes de la càrrega: P = 80 · 9,8 = 784 N.
Amb una politja mòbil la força es redueix a la meitat: F = $\tfrac{P}{2} = 392$ N.
A canvi, la corda s'ha d'estirar el doble: 2 · 2 = 4 m.
Comprovació: treball fet amb la mà 392 · 4 = 1568 J, igual que el treball per pujar la càrrega 784 · 2 = 1568 J.

Llei de la palanca: F · $b_{F}$ = R · $b_{R}$.
R = $\tfrac{(8 \cdot 6)}{15} = 3{,}2$ N.
La força a les puntes (3,2 N) és menor que la que fem amb els dits (8 N): no guanyem força, però sí precisió i control del moviment de les puntes.
Avís: en una palanca de 3r gènere el braç de la força sempre és més curt que el de la resistència.

En una volta el pinyó fa passar 16 dents, cadascuna de 5 mm: desplaçament = 16 · 5 = 80 mm per volta.
30 rpm són $\tfrac{30}{60} = 0{,}5$ voltes per segon.
Velocitat de la cremallera: v = 80 · 0,5 = 40 mm/s.
Comprovació: en un minut avança 30 · 80 = 2400 mm, és a dir, $\tfrac{2400}{60} = 40$ mm/s.

Passem a la mateixa unitat: 10 cm = 100 mm.
Nombre de voltes = 100/4 = 25 voltes.
Temps = 25 · 2 = 50 s.
Un pas tan petit fa que calguin moltes voltes, però així amb poca força s'aixeca molt pes: s'estalvia força a costa de recórrer més camí.

De n₁ · D₁ = n₂ · D₂ surt D₂ = (1500 · 8)/500 = 24 cm.
Relació de transmissió: i = n₂/n₁ = 500/1500 = 1/3 ≈ 0,33.
Com que i < 1, és un reductor: la conduïda gira 3 vegades més a poc a poc.
Comprovació: D₁/D₂ = 8/24 = 1/3.

El trinquet és un mecanisme que només deixa girar una roda dentada en un sentit.
Quan pedalem, el trinquet s'encasta a les dents i transmet el moviment a la roda del darrere.
Quan deixem de pedalar, la roda continua girant per inèrcia i les dents llisquen sobre el trinquet (se sent el seu soroll), de manera que els pedals no ens arrosseguen.

La relació és i = z₁/z₂ = 60/20 = 3.
La velocitat de sortida és n₂ = n₁· i = 100·3 = 300 voltes per minut.
La conduïda gira a 300 voltes per minut (més de pressa, perquè té menys dents).

Apliquem la llei de la palanca: F · b_F = R · b_R.
F · 0,9 = 600 · 0,3 = 180.
F = 180 / 0,9 = 200 N.
Calen 200 N, la tercera part de la resistència, perquè el braç de la força és el triple de llarg.

Un balancí és una palanca. En equilibri, els moments s'igualen: 400 · 1,5 = 600 · b.
600 = 600 · b, així que b = 1 m.
El nen de 600 N s'ha de posar a 1 m del centre (més a prop, perquè pesa més).

Amb una cadena, $n_{\mathrm{roda}}$ = $n_{\mathrm{pedals}}$ · $z_{\mathrm{plat}}$/$z_{\mathrm{pinyó}}$.
Pinyó de 12: n = 60 · $\tfrac{48}{12} = 240$ rpm. Longitud de la roda: π · 0,7 = 2,20 m. v = 240 · 2,20 = 527,8 m/min = 31,7 km/h.
Pinyó de 24: n = 60 · $\tfrac{48}{24} = 120$ rpm, v = 263,9 m/min = 15,8 km/h.
El pinyó petit dona més velocitat però exigeix més força; el gran serveix per a pujades.

Les rodes 2 i 3 no són solidàries: la 2 només hi fa de pont entre la 1 i la 3.
$n_{3}$ = 720 · $\tfrac{18}{36} = 360$ rpm (la intermèdia no hi intervé).
Sentit: la 2 gira al revés de la 1 i la 3 al revés de la 2, per tant la 3 gira en el mateix sentit que la 1.
La roda intermèdia no canvia la relació de transmissió, que depèn només de la primera i de l'última ($\tfrac{18}{36} = 0{,}5$); només en canvia el sentit.

Velocitat de sortida: n = 1800 · (1/12) = 150 rpm.
Parell ideal: M = 5/(1/12) = 60 N·m.
Parell real: 60 · 0,90 = 54 N·m.
Un reductor perd velocitat però guanya parell: la velocitat es divideix per 12 i el parell es multiplica gairebé per 12 (menys les pèrdues per fregament).

Pes: P = 120 · 9,8 = 1176 N. Força: F = 1176/4 = 294 N.
Corda estirada: 4 · 1,5 = 6 m.
Treball amb la mà: 294 · 6 = 1764 J. Treball per pujar la càrrega: 1176 · 1,5 = 1764 J.
Els dos treballs coincideixen: el polipast no estalvia treball, només permet fer una força quatre vegades més petita a canvi de recórrer un camí quatre vegades més llarg.

Cursa = 2 · radi = 2 · 4 = 8 cm.
600 rpm = 600/60 = 10 voltes per segon, i cada volta correspon a una anada i una tornada: 10 cicles per segon.
Camí recorregut en un cicle: 2 · 8 = 16 cm. En 1 s: 10 · 16 = 160 cm = 1,6 m.
Per tant, la velocitat mitjana del pistó és 1,6 m/s.

Relació: i = 10/50 = 1/5, per tant és un reductor.
Error 1: la conduïda gira 5 vegades més a poc a poc: n = 1000 · 1/5 = 200 rpm.
Error 2: el parell es multiplica per 5 en lloc de dividir-se: M = 2 · 5 = 10 N·m.
Regla: un reductor perd velocitat i guanya força (parell); un multiplicador fa el contrari.