Exercicis de màquines i mecanismes — Tecnologia i Digitalització 2n ESO

Palanca (unes tisores o un balancí), politja (la roda per on passa la corda d'un pou) i pla inclinat (una rampa o una falca). Totes tres permeten fer una feina amb menys esforç.

(a) La cadena fa girar el pinyó de la roda: és transmissió circular. (b) En girar el cargol, la femella avança recta: és transmissió lineal.

(a) Primer gènere: el punt de suport (fulcre) és entre la potència i la resistència.
(b) Segon gènere: la resistència (la càrrega) és entre el fulcre (la roda) i la potència (les mans).
(c) Tercer gènere: la potència és entre el fulcre i la resistència.

Llei de la palanca: P · b_P = R · b_R.
P · 1,5 = 300 · 0,2 = 60.
P = 60 / 1,5 = 40 N.
La força és molt menor que la càrrega perquè el braç de potència és més llarg.

Un mecanisme de pinyó i cremallera.
El pinyó és una roda dentada que gira, connectada al motor, i engrana amb una barra dentada (la cremallera) fixada a la porta.
Quan el pinyó gira, la cremallera avança en línia recta i empeny la porta.

En una politja fixa la força necessària és igual al pes: F = m · g = 20 · 9,8 = 196 N.
No redueix l'esforç, però canvia la direcció: tirem cap avall per pujar la càrrega, cosa més còmoda.

Pes de la càrrega: 30 · 9,8 = 294 N.
Una politja mòbil divideix la força per dos: F = 294 / 2 = 147 N.
Per compensar-ho, cal estirar el doble de corda del que puja la càrrega.

Relació de transmissió: i = d_motriu / d_conduïda = 10/30 = 1/3 ≈ 0,33.
Com que i < 1, és un reductor: la conduïda gira tres vegades més a poc a poc que la motriu.
A canvi, transmet més parell.

Engranades, giren en sentit oposat, perquè les dents d'una empenyen les de l'altra.
Amb una corretja oberta, les dues politges giren en el mateix sentit, perquè la corretja arrossega les dues en la mateixa direcció.
Per invertir el sentit amb corretja, caldria creuar-la.

El pas de rosca és el que avança el cargol en cada volta: 2 mm per volta.
En 5 voltes avançarà 5 · 2 = 10 mm.
Un pas més petit vol dir més voltes per avançar la mateixa distància, i això dona més força.

Apliquem la llei de la palanca: potència · 1,2 = 200 · 0,3 = 60. Aïllem: potència = 60 / 1,2 = 50 N. Cal fer una força de 50 N, molt menys que els 200 N de la resistència, gràcies al braç més llarg.

Perquè el pla inclinat (la rampa) reparteix l'esforç en un recorregut més llarg: fas menys força, encara que durant més distància. Aixecar la caixa recta exigeix fer tota la força del pes de cop, mentre que la rampa la fa més suportable a canvi de caminar més.

La cadena no llisca sobre els pinyons, mentre que una corretja pot lliscar sobre les politges. Per això la cadena transmet tot el gir de manera segura i és més robusta, cosa important en una bicicleta on no vols perdre força en pedalar.

i = z1/z2 = 30/15 = 2. Com que i = 2 és més gran que 1, el mecanisme és multiplicador: la roda conduïda gira el doble de ràpid que la motriu, o sigui que accelera el gir.

Aplicant la llei de la palanca: P · b_P = R · b_R.
P · 1,2 = 600 · 0,4 = 240.
P = 240 / 1,2 = 200 N.
Només cal fer un terç de la força del pes de la càrrega.

En equilibri, els moments són iguals: m₁ · d₁ = m₂ · d₂ (la g es simplifica).
30 · 2 = 40 · d₂.
d₂ = 60 / 40 = 1,5 m.
El nen més pesat s'ha de seure més a prop del centre.

Primera etapa: n₂ = 1200 · 10/40 = 300 min^-1.
La roda de 15 dents va en el mateix eix que la de 40, així que també gira a 300.
Segona etapa: n₄ = 300 · 15/45 = 100 min^-1.
Relació total: i = (10/40)·(15/45) = 1/12, i comprovem 1200/12 = 100.

El plat és el motriu (48 dents) i el pinyó el conduït (16 dents).
Relació: i = 48/16 = 3.
La roda posterior gira 180 voltes per minut, és a dir 60 · 3.
Hi guanyem velocitat i perdem força.

Pes: 100 · 9,8 = 980 N.
Amb un pla inclinat ideal, F · llargada = pes · alçada, així que F = 980 · $\tfrac{1{,}2}{6} = 196$ N.
Avantatge mecànic: $\tfrac{980}{196} = 5$, que és la relació llargada/alçada ($\tfrac{6}{1{,}2}$).
Es fa menys força però recorrent un camí més llarg.

La manovella gira i la biela, unida a un extrem de la manovella, empeny i estira un pistó o un lliscador.
Entrada: moviment circular continu; sortida: moviment rectilini alternatiu (anar i tornar).
Es fa servir als motors de combustió, a les màquines de cosir antigues o a les màquines de vapor. El mecanisme també funciona a l'inrevés: el pistó fa girar la manovella.

Pes: 120 · 9,8 = 1176 N.
Força: F = 1176 / 4 = 294 N.
La corda recorrerà 4 vegades més que la càrrega: 4 · 2 = 8 m.
Es guanya força a canvi de recórrer més distància: el treball és el mateix (1176 · 2 = 294 · 8).

Perquè el cargol sense fi fa avançar la roda dentada molt a poc a poc (moltes voltes del cargol per una volta de la roda), cosa que dona una gran reducció. A més, no és reversible: la roda no pot fer girar el cargol, així que el mecanisme queda bloquejat i no es mou sol.

Fem servir n2 = n1 · (z1/z2) = 60 · (12/36) = 60 · (1/3) = 20. La roda conduïda gira a 20 voltes per minut. Com que i = 1/3 és més petit que 1, és un reductor: la sortida va tres vegades més a poc a poc.

La roda motriu ha de ser la petita i la conduïda la gran. Així i = z1/z2 surt més petit que 1 (reductor): la sortida gira més a poc a poc. A canvi de perdre velocitat, es guanya força, per això els reductors s'usen quan cal molta força i poca velocitat.

(a) Primera etapa: 1500 · 5/15 = 500 min^-1. Segona: 500 · 12/36 = 166,7 min^-1.
(b) i = (5/15)·(12/36) = 1/9 ≈ 0,111, i comprovem 1500/9 = 166,7.
(c) Si no hi ha pèrdues, la potència es conserva, així que el parell es multiplica per 9: M = 2 · 9 = 18 N·m.
Reduïm velocitat per guanyar parell.

(a) Llei de la palanca: F_mà · 12 = 60 · 3, així que F_mà = 180/12 = 15 N (avantatge mecànic 4).
(b) Si es talla a 6 cm, la força de tall de la xapa és la mateixa, 60 N, però el braç de resistència dobla: F_mà = 60 · 6/12 = 30 N.
Com més lluny de l'eix es talla, més força cal fer; per això el material dur es talla a prop de l'eix.

(a) Treball útil: W = m·g·h = 80 · 9,8 · 1,5 = 1176 J.
(b) Força ideal: F = W / llargada = 1176 / 5 = 235,2 N.
(c) Treball real: 300 · 5 = 1500 J.
Rendiment: 1176 / 1500 = 0,784, és a dir un 78,4 %.
La diferència (324 J) és el treball perdut pel fregament.

(a) Falsa. Cap màquina simple redueix el treball, només permet fer menys força recorrent més distància (si no hi ha fregament, el treball és igual).
(b) Certa. Si es redueix la velocitat sense pèrdues, el parell augmenta en la mateixa proporció.
(c) Certa. El treball es conserva: F · distància de la corda = pes · altura, de manera que menys força implica més corda.

(a) El torn és una palanca contínua: F · 0,30 = 300 · 0,10, així que F = 30/0,30 = 100 N.
(b) Cada volta puja 2π · 0,10 = 0,628 m de corda.
Voltes = 6 / 0,628 = 9,5 voltes.
Hi guanyem un factor 3 en força, però cal girar la manovella moltes vegades.

Voltes de roda per volta de pedal = dents plat / dents pinyó.
Marxa llarga: $\tfrac{48}{11} = 4{,}36$; roda a 305,5 min^-1; v = 641 m/min = 38,5 km/h.
Marxa curta: $\tfrac{28}{32} = 0{,}875$; roda a 61,2 min^-1; v = 128,6 m/min = 7,7 km/h.
Conversió: 1 m/min = 0,06 km/h.
La marxa curta serveix per pujar costes, perquè dona més força.