Exercicis d'estructures i esforços — Tecnologia i Digitalització 2n ESO

Ha de ser resistent (aguantar les forces sense trencar-se), rígida (no deformar-se gaire) i estable (no bolcar ni caure). A més, com més lleugera i econòmica, millor, però les tres primeres són imprescindibles.

(a) El pes aixafa la pota cap avall: treballa a compressió. (b) El pes de la cabina estira el cable cap avall mentre el motor l'aguanta: treballa a tracció.

Perquè el triangle és l'única figura de barres que no es deforma. Omplint l'estructura de triangles (triangulant-la) queda molt rígida i resistent sense gastar gaire material, de manera que pot ser alta i lleugera alhora.

Els cinc esforços són tracció, compressió, flexió, torsió i tallant (o cisalla).
La tracció tendeix a allargar l'element (estira) i la compressió tendeix a escurçar-lo (l'aixafa).
La flexió el corba, la torsió el gira sobre ell mateix i el tallant el talla amb dues forces properes de sentit contrari.

Naturals: la teranyina, l'esquelet d'un gat i la cova.
Artificials (fetes per les persones): el pont de vianants i el gratacel.
Una estructura és natural quan existeix sense intervenció humana.

Pilar → (1), vertical i a compressió.
Biga → (2), horitzontal i a flexió.
Tirant → (3), treballa a tracció, com un cable.
Cimentació → (4), reparteix el pes de l'estructura sobre el terreny.

Piràmide de pedra → massissa, formada per un gran volum de material.
Closca d'ou → laminar, una superfície fina i resistent.
Pont penjant → penjant, que sosté la calçada amb cables.
Torre elèctrica → de barres, un entramat de perfils triangulats.

El pilar ha d'aguantar el pes total, P = m · g.
Massa total: 70 + 70 = 140 kg.
P = 140 · 9,8 = 1372 N de compressió.
El pes dels dos és una força cap avall i el pilar l'aixafa.

No es compleix prou la rigidesa.
La rigidesa és la capacitat de no deformar-se gaire sota les càrregues.
El pont és resistent perquè no es trenca i estable perquè no cau, però el seu comportament és massa flexible.

1) Fer la base més ampla: així el centre de gravetat queda ben a dins de la base.
2) Baixar el centre de gravetat, posant els materials més pesants a la part baixa.
També es pot ancorar al terra amb una bona cimentació.

Perquè està feta de moltes barres de ferro unides, no d'un bloc ple. L'avantatge és que amb molt menys material s'aconsegueix una estructura molt alta, resistent i molt més lleugera i barata que si fos massissa; a més, el vent hi passa a través.

(a) El pes de les bigues és el pes de la mateixa estructura, així que és una càrrega fixa. (b) El pes dels cotxes canvia segons quants n'hi hagi, així que és una càrrega variable.

La tija suporta torsió: la teva mà la fa girar per un extrem mentre el cargol s'hi resisteix per l'altre, de manera que la tija tendeix a retòrcer-se. Aquest esforç de gir en sentits contraris és la torsió.

Les dues fulles de les tisores empenyen el paper en sentits contraris i molt a prop l'una de l'altra, i el tallen. Aquest esforç, en què dues forces properes tendeixen a tallar el material, es diu tallant o cisalla.

Bolca més fàcilment el got alt i estret, perquè té la base petita i el centre de gravetat alt. El got baix i ample té la base gran i el pes a prop de terra, així que és més estable i costa més de tombar.

Càrrega per pilar: 12000 / 2 = 6000 N.
Esforç = F / S = 6000 / 0,04 = 150000 Pa, o sigui 0,15 MPa.
Error típic: dividir la càrrega total per la secció d'un sol pilar (donaria 0,3 MPa, el doble).

En una biga a flexió, les zones que més treballen són les cares de dalt i de baix (compressió i tracció) i el centre treballa molt poc.
El perfil en doble T posa el material on fa més servei i en treu del centre.
Així resisteix la flexió amb menys material, i és més lleuger i més barat.

El cable és estirat pel pes del llum: treballa a tracció.
Força = m · g = 25 · 9,8 = 245,00000000000003 N.
Com que 245,00000000000003 N < 300 N, el cable resisteix, amb un petit marge de seguretat.

En un arc, les pedres s'empenyen les unes a les altres i treballen sobretot a compressió.
La pedra resisteix molt bé la compressió, però poc la tracció o la flexió.
L'arc transforma les càrregues en compressió, que és el que la pedra aguanta millor.

(a) Els cables principals estan estirats pel pes de la calçada: treballen a tracció.
(b) Les torres s'aixafen pel pes que els carreguen els cables: treballen a compressió.
Els ancoratges han de fixar els cables al terra perquè la tracció tendeix a arrencar-los i, si cedissin, el pont cauria.

Coeficient de seguretat = 1500 / 300 = 5.
Vol dir que el cable podria aguantar cinc vegades la càrrega.
És un marge raonable, ja que una estructura ha de treballar molt per sota del seu límit de ruptura.

Treballa a flexió perquè el pes la fa corbar cap avall pel centre, mentre els extrems queden sostinguts. En corbar-se, la cara de dalt de la biga s'aixafa (compressió) i la de baix s'estira (tracció); la combinació d'aquests efectes és la flexió.

En un quadrat les barres estan unides pels vèrtexs i els angles poden canviar, així que en empènyer-lo es transforma en un rombe. En un triangle, la longitud dels tres costats fixa completament els tres angles: no es poden moure sense canviar la mida de les barres, per això el triangle és indeformable.

Un cos bolca quan la vertical que passa pel centre de gravetat surt de la base.
Quan s'inclina, el límit és quan el centre de gravetat és just sobre la vora: aleshores tan α = (meitat de la base) / (alçada del centre de gravetat).
tan α = 20/80 = 0,25, per tant α = 14,0°.
Si s'inclina més, bolca. Si la base és més ampla o el centre de gravetat més baix, l'angle és més gran.

(a) Tracció: el tirant és un cable que s'estira.
(b) Compressió: el pilar és aixafat pel pes de l'edifici.
(c) Torsió: l'eix es gira sobre ell mateix per transmetre el parell.
(d) Flexió: el trampolí es corba pel pes de qui hi salta.
(e) Tallant o cisalla: les dues fulles de les tisores fan forces properes i oposades sobre el cartó.

Cal que l'esforç real sigui la quarta part del màxim: es dimensiona amb S = F · n / $σ_{\mathrm{màx}}$.
S = 90000 · $\tfrac{4}{2500}$0000 = 0,0144 $\text{m}^{2}$.
Costat = $\sqrt{0,0144}$ = 0,12 m = 12 cm.
Comprovació: 90000 / 0,0144 = 6250000 Pa = 6,25 MPa, que és $\tfrac{25}{4}$.

(a) Falsa. A més de resistir, ha de ser rígida (no deformar-se gaire) i estable (no bolcar).
(b) Certa. El triangle és l'únic polígon indeformable amb els costats fixos, així que impedeix que l'estructura es deformi.
(c) Falsa. El pes propi és una càrrega fixa; les variables són les que canvien, com el trànsit, el vent o la neu.

1) Posar un suport extra al mig o una escaire: redueix la distància lliure i, per tant, la flexió.
2) Fer el prestatge més gruixut o posar-lo de cantell: una biga alta flecteix molt menys que una de plana.
3) Afegir un llistó o perfil reforçat sota la fusta (com una doble T), que treballa a tracció i ajuda a aguantar la flexió.
Totes les solucions augmenten la rigidesa sense canviar la resistència del material.

Fixa: el pes propi (sempre és igual).
Variables: la gent, el vent i la neu, perquè canvien amb el temps.
Cal dimensionar-la per al cas més desfavorable de les variables, per exemple la passarel·la plena de gent amb neu a sobre.
Per això s'aplica un coeficient de seguretat per sobre de la càrrega màxima prevista.

Amb la mateixa massa, un tub buit té un diàmetre més gran que una barra massissa.
En flexió, el material de les cares exteriors és el que més treballa, i en un tub aquest material és més lluny del centre.
Per això el tub resisteix més la flexió amb la mateixa quantitat de material, i és més lleuger.
La natura i l'enginyeria aprofiten aquest principi.